@Sizick Родительский контроль работает на страницы, которые посещает ребёнок в первую очередь, на URL запросы. Сообщение в месседжере может им не являться, а вот скачивание или просмотр фото - это загрузка картинки или видео по какой-то ссылке, поэтому так. К сожалению фильтрация может не полноценно работать на ресурсы, вы можете попробовать добавить ключевые слова в правила родительского контроля чтобы усилить эффект добавьте туда ключевые слова telegram но не факт что ссылка на сообщения содержит слово телеграмм. 

  @MinDmit Когда включается "полная блокировка" во время сна, я подразумеваю, что будет заблокирован весь исходящий трафик с устройства клиента, а не отдельные запросы по ключевым словам. То, что вы пишете, не относится к полной блокировке

Да, Вы правы. Я понимаю вы сравниваете функцию "контроль доступа" и "родительский контроль". Так устроены функции. Контроль доступа эту функция которая имеет сценарий ДА НЕТ. Либо можно либо нельзя. А функция родительский контроль это дополнительные условия. Меню роутера позволяет эти условия добавить, но чтобы их добавить правильно или корркетно необходимо понимать по какой ссылке телеграмм х приходя уведомления. Ваше описание говорит о том что ссылка не указано полностью. Понимаете, смысл в том что конечное уведомление может вовсе приходить от гугла, хотя отправил вам его скажем youtube потому что вы в него зашли через google. Аналогично и прочим сетям где вы выполняете вход сторонними сервисами. В общем и целом чтобы получить адекватную работу, нужно иметь точное представление об адресах по которым работает та или иная часть в смартфоне ребёнка. А это требует посещения форумов и чтения статей.